Matematik,Geometri,Rehberlik adına her şey

Matematik Tarihi Üzerine

Matematik insanlık tarihinin en eski bilimlerinden biridir. Matematik bir yönüyle resim ve müzik gibi bir sanattır. Matematik, başka bir yönüyle, bir dildir:

Eğer bilimin amacı evreni, evrende olan her şeyi anlamak, onlara hükmetmek ve yönlendirmek ise, bunun için tabiatın kitabını okuyabilmemiz gerekir. Tabiatın kitabı ise, Galileo’nun çok atıf alan sözleri ile matematik dilinde yazılmıştır; tabiatın harfleri geometrik şekillerdir. Evreni anlamak ve yorumlayabilmek için bu dili bilmek gerekir.

Matematik, başka bir yönüyle de satranç gibi entelektüel bir oyundur.

Matematiğin ne olduğunu, onun içine girdikten sonra, bilgimiz ölçüsünde ve ilgimiz yönünde anlar ve algılarız. Günümüzde ise artık matematik herhangi bir insanın hükmedebileceği boyutların çok ötesindedir. Bu nedenle matematikle uğraşanların ondan anladığı ve algıladıklarının, file dokunan körün fili anladığı ve onu algıladığından daha fazla olmadığı matematikçiler tarafından dile getirilmektedir.

Giriş: Matematik sözcüğü, ilk kez M.Ö. 550’lerde Pisagor okulu üyeleri tarafından kullanılmıştır. Kelime anlamı öğrenilmesi gereken şey yani bilgidir. Matematiğin doğuşu hakkında bir görüş matematiğin M.Ö. 3000 ila 2000 yılları arasında Mısır ve Mezopotamya’da doğduğudur. Eski Mısır’ın yüzölçümünün %3’ünü oluşturan tarıma elverişli toprakların her sene yaşanan Nil nehri taşkınları sonucunda hudutlarının belirsizleşmesi sonucu toprak sahiplerine bir önceki yılda sahip oldukları toprak kadar toprak vermek gerektiğinden matematiğin bu ölçüm ve hesapların sonucu olarak oluşmaya başladığı söylenmektedir.

Matematiğin doğuşu hakkında ikinci bir görüşse Aristo (M.Ö. 384 -322) tarafından ileri sürülmüştür. Aristo’ya göre o tarihlerde Mısır gibi ülkelerin tek entelektüel sınıfı rahip sınıfıdır. Bu sınıfın geçimi halk veya devlet tarafından sağlandığı için entelektüel uğraşılara ayıracak çok zamanları olmaktadır. Kendilerini meşgul etmek için, başka insanların satranç, briç, go gibi oyunları icat ettikleri gibi onlar da geometri ve aritmetiği, yani o zamanın matematiğini icat etmişlerdir.

Matematiğin yazılı tarihi matematikçilerin çoğuna göre beş döneme ayrılabilir: İlk dönem Mısır ve Mezopotamya dönemi ( M.Ö. 2500 - 500 arası), ikinci dönem Yunan Matematiği dönemi (M.Ö. 500 -M.S. 500), üçüncü dönem Hint, İslam ve Rönesans dönemi Avrupa Matematiği ( M.S.500 - 1700), dördüncü dönem Klasik Matematik dönemi, ki matematiğin altın çağı olarak bilinir (1700 - 1900), beşinci dönem Modern Matematik dönemi(1900- günümüz).

1- Mısır ve Mezopotamya Matematiği:

Matematiğin ilk dönemine hakkındaki bilgilerimizin ana kaynakları Ahmes(ya da Rhind) papirüsü ve Moskova papirüsü olarak bilinen iki papirüstür. Ahmes papirüsü M.Ö. 1850’li yıllarda yazılan bir papirüsün, M.Ö. 1650’lerde Ahmes isimli bir ‘matematikçi’ tarafından yazılmış kopyasıdır. Buradaki bilgiler az çok bizim 8.sınıf matematiği düzeyinde bir matematiktir.

Moskova papirüsü M.Ö. 1600’lere tarihlenmiştir. Bu papirüste diğerinden farklı olarak ilginç olan iki soru mevcuttur. İlki bir düzlemle kesilen küre parçasının hacmi ve yüzey alanının hesaplanmasıdır. İkincisi ise yine bir düzlemle kesilen bir piramidin hacminin hesaplanması sorusudur. Her iki soru da doğru olarak çözülmüştür.

Mısırlılar pi sayısını 4*(8/9)^2 = 256/81 = 3,16 olarak bulmuşlardır. Mısır matematiğinin 2000 yıl boyunca bu düzeyde kaldığı ve kayda değer bir ilerleme göstermediği anlaşılmaktadır.

Mezopotamya’da yaşamış medeniyetlerden (Sümerler, Akatlar, Babiller) zamanımıza, Mısır’dan kalandan bin kat daha fazla yazılı belge kalmıştır. Bunun nedeni Mezopotamyalıların yazı aracı olarak kil tabletleri kullanmalarıdır. Bu tabletlerin önemli bir kısmı İstanbul arkeoloji müzesi’ndedir. Bu tabletlerden anlaşılan Mezopotamya’daki matematiğin Mısır’dan daha ileri bir düzeyde olduğudur. Mezopotamyalılar lise iki düzeyinde bir matematik bilgisine sahiptiler. Mezopotamyalılar daha sonra Pisagor teoremi olarak adlandırılacak teoremi de biliyorlardı.(Bir dik üçgende dik kenarların karelerinin toplamı hipotenüsün karesine eşittir.)

Mezopotamyalıların sayı sistemi 60 tabanlı bir sayı sistemidir. Bu sayı sistemi günümüzde denizcilik ve astronomide kullanılmaktadır. Saatin 60 dakika, günün 24 saat oluşu ve dairenin 360 dereceye bölünmesi bize bu sayı sisteminden kalan miraslardandır.

Mısır veMezopotamya matematiğini birlikte değerlendirecek olutsak, temel özellikleri şunlardır:

a) Bu dönem matematiğinde teorem, formül ve ispat yoktur. Bulgular deneysel, işlemler sayısaldır. Bunun böyle olması o dönemde kaçınılmazdı çünkü matematik simgesel değil sözel olarak ifade edilmekteydi.

b) Bu dönemin matematiği zanaat düzeyinde bir matematiktir. Sanat sanat için mi, halk için mi yapılmalıdır sorusunda ki gibi, o dönemde matematik, matematik için değil, halk için matematik anlayışıyla yapılmaktadır. Yani günlük hayatın ihtiyaçlarını karşılamaya yöneliktir. Yani zaman-takvim belirlemek, muhasebe işleri ve günlük hayatın inşaat, miras dağıtımı gibi diğer işleridir.

2- Yunan Matematiği:

Persler M.Ö. 500 - 480 arasında Yunanistan’a üç sefer düzenlerler. 480’de Atina’yı ele geçirerek yakarlar ama bir yıl sonra Yunanlılar Persleri ülkelerinden atarlar. Bu tarih yani M.Ö. 479 Yunan medeniyetinin başlangıcı olarak kabul edilen tarihtir. Bilimde, sanatta, edebiyatta çok parlak bir dönemin başlangıcı olan bir tarihtir. Yunan matematiği gerçekte bu dönemden önce başlamıştır. İki kişi, Thales (M.Ö. 624 - 547) ve Pisagor (M.Ö. 569 - 475), o dönemin en önemli şahsiyetleridirler. Thales Milet’te(Aydın) doğmuştur. Mısır’a gittiği, bir süre orada kaldığı ve Mısır’da geometri öğrendiği bilinmektedir. Mısır’dayken büyük piramitin gölgesinin uzunluğunu ölçerek, bulduğu sayıyı kendi boyunun o andaki gölgesinin boyuna olan oranıyla çarpmak suretiyle büyük piramitin boyunu hesapladığı kitaplarda anlatılmaktadır. Matematiğe deneysel olarak doğrulamaya değil akıl yürütmeye dayalı, soyut ispatın Thales’le girdiği kabul edilir. Yunan matematiğinin diğer babası Pisagor Sisam(Samos) adasında doğmuştur. Pisagor’un da Thales’in tavsiyelerine uyarak Mısır’a gittiği, orada geometri öğrendiği rivayet olunur. Bu anlattıklarımızdan da anlaşılacağı üzere, Yunan matematiğinin temelinde Mısır ve Mezopotamya matematiği vardır.

Atina’da matematiğin sistematik eğitimi Platon’la(M.Ö. 427-347) başlar. Sokrat’ın öğrencisi olan Platon, onun ölüme mahkum edilip zehir içerek ölmesinden sonra, uzun bir yolculuğa çıkar. 10 yıl süren bu yolculuktan sonra Atina’ya dönen Platon, matematiğin doğru düşünme yetisi için ne kadar önemli olduğunu anlamıştır. Atina’da ‘akademisi’ni kuran Platon akademinin girişine ‘ Her kim ki geometrici değildir, içeriye girmesin.’ yazar. O tarihlerde matematik sözcüğü henüz kullanılmamakta ve ‘geometri’ matematik sözcüğünün yerine kullanılmaktadır. Bu okulda felsefe, geometri, müzik(harmoni teorisi) ve jimnastik ağırlıklı bir eğitim verilmektedir. Geometri, doğru düşünmeyi öğrenmenin temel aracı olarak kabul edilmektedir. Felsefe ile geometri iç içe denecek kadar birbirine yakın konular olarak görülmektedir. Platon ‘akademi’de bir araştırma yöneticisi gibi görev yapmakta, öğrencilerine çeşitli geometri soruları vererek onlardan bu soruları çözmelerini istemektedir. Bu okul M.S. 529’a kadar, 900 yy.dan fazla faaliyet gösterecektir. Çok sayıda matematikçi yetiştiren bu okulun ilk önemli matematikçisi Euclid(M.Ö. 325-265), son önemli matematikçisi ise Proclus(M.S. 411-485) olarak kabul edilir.

Euclid’in yazdığı çok sayıda eserin arasında en önemlisi Euclid’in Elementleri olarak bilinen 13 kitaplık bir dizi matematik kitabıdır. Bugün ki ölçülerle 20-50 sayfa tutan her bir kitapta Euclid, o zamanlarda bilinen matematiğin sistematik bir derlemesini yapar. Bu eserin önemi Euclid’in geometriye yaklaşımının ve konuları takdim edişinin orjinalliğidir. Euclid ‘Elementler’de, geometride evrensel geçerliliği olan 5 aksiyom verir. Bunlar A=B ve B=C ise A=C gibi her sağduyulu insanın kabul edeceği kurallardır. Sonra nokta, doğru, düzlem gibi kavramların ne olduğu belirten 31 tanım verir. Daha sonra Euclid geometrisinin postulatları olarak bilinen şu beş postulatı açıklar:

1) İki noktadan bir doğru geçer,

2) Bir doğru parçası sınırsız uzatılabilir,

3) Bütün dik açılar birbirine eşittir,

4) Bir nokta ve bir uzunluk bir çember belirler,

5) Bir doğruya onun dışındaki bir noktadan sadece bir paralel çizilir.

Euclid mantıksal çıkarım yoluyla, bu postulatlardan çıkarabildiği sonuçları teorem, önerme olarak sıralar. ‘Aksiyomatiko-Dedüktif’ yaklaşım dediğimiz bu yaklaşım, bugün ki matematiğin ve bilimin de temel yaklaşımıdır. Ünlü düşünür Bertrand Russell’a göre hiçbir kitap Batı düşünce sisteminin oluşmasında bu kitap kadar etkili olmamıştır. Elementler kitabı, tarih boyunca belli başlı bütün dillere çevrilmiş, 1000 defadan daha fazla basılmıştır.

Bütün zamanların en büyük bilim adamlarından bir diğeri de Sirakus’lu Arşimed’tir (M.Ö. 287 - 212). Arşimed bir dairenin içine ve dışına düzgün 96 kenarlı çokgenler çizip onların alanlarını hesaplayarak pi sayısının 3,10/71 ve 3,10/70 arasında bir değeri olduğunu hesaplamıştır. Bu sayı da pi’nin virgülden sonraki ilk üç rakamını doğru olarak vermektedir. Bu arada Perge’li Apollonyus’tan bahsetmemek tabii ki olmaz. Antik çağın Euclid ve Arşimed’le beraber üç büyük matematikçi-bilim adamından biri olarak kabul edilen Apollonyus, konik kesitleri üzerine bugün de hayranlık uyandıran 8 kitaplık mükemmel bir eser bırakmıştır.

O dönemde yetişen ve tarihin en önemli astromomlarından biri olarak kabul edilen bir bilim adamı da batılıların Potolemy, doğuluların Batlamyus olarak bildiği Cladius Potolemy’dir (M.S. 85 - 165). Batlamyus uzun yıllar süren gözlemlerinden sonra tutarlı bir evren sistemi oluşturmuş; geniş astronomik ölçüm cetvelleri ve bir yıldız kataloğu da hazırlamıştır. Batlamyus’un sisteminde Dünya evrenin merkezindedir; güneş, ay ve gezegenler çembersel bir yörüngede dünyanın etrafında dönmektedir. Yunanca ismi ‘matematica’ olan ünlü astronomi kitabı 15 yy. boyunca astronomi ile ilgilenen bütün bilim adamlarının başvuru kitabı olarak kalmıştır.

Yunan Matematiğini genel hatlarıyla değerlendirecek olursak:

Yunanlılarla matematik zanaat düzeyinden sanat düzeyine geçmiştir. Bu matematikte günlük hayatta işe yararlılıktan ziyade sanatsal nitelik, derinlik ve estetik ön plandadır.

Yunan matematiği bugünkü anlamıyla moderndir. Bugün biz nasıl matematik yapıyorsak, o zaman da matematik öyle yapılmaktaydı. Zaman içinde ispat anlayışı ve şartları değişmekle birlikte Euclid’in verdiği ispatlar bugün de büyük ölçüde geçerliliğini korumaktadır.

3- İslam Dünyasında Matematik:

Bu dönemde ilk ele alacağımız matematikçi Muhammet ibni Musa al-Harazmi’dir (M.S. 780 -850). Al-Harazmi’nin en ünlü kitabı ‘Al-Cebir ve Al-Mukabele’dir. Bu ‘indirgeme ve denkleme’ manasına gelen başlık, daha sonraları ‘Cebir’ (İngilizce: Algebra) olarak kısaltılacaktır. Bu kitapta Al-Harazmi, 2.dereceden bir polinomu katsayılarının işaretine göre 6 sınıfa ayırarak, sistematik bir biçimde ve ‘algoritmik’ yaklaşımla, her sınıf için köklerin nasıl bulunacağını göstermektedir. Örnek verecek olursak; bugün x^2-10x-4=0 olarak yazacağımız bir polinomu x^2=10x+4 şeklinde yazmaktadır ve bu polinomun köklerini bulmak için adım adım ne yapılması gerektiğini söylemektedir(günümüzde bu yaklaşıma algoritmik yaklaşım denmektedir). Bu eser 1140’larda Latince’ye çevrilmiş ve 1600’lere kadar batı okullarında okutulmuştur. Bu eser, hakkında çok tartışma olan bir eserdir. Kimilerine göre cebirin esas babası Diofand’dır. Al-Harazmi’nin cebiri Mezopotamya matematiğinden daha ileri düzeyde değildir. Kimileri ise bu eserin her şeyiyle orijinal olduğunu savunmaktadır. Açık olan bir şey varsa o da, bu eserden sonra matematikte ‘Cebir’ diye bir ana bilim dalının ortaya çıktığıdır.

0(sıfır) ilk kez 876’da Hindistan’da kullanılmıştır. Negatif sayıların da Hindistan’da 620’lerde kullanıldığı bilinmektedir ama az çok yaygın olarak kullanılmaya başlanmaları 1600’lerden sonradır.

Çalışmalarına değineceğimiz ikinci matematikçi Ömer Hayyam’dır (1048 - 1131). Nişabur’da doğan Ömer Hayam’dan zamanımıza rubaileri, astronomiyle ilgili bazı araştırmaları ve bir cebir kitabı kalmıştır. Cebir kitabında 3. dereceden polinomların bir sınıflandırmasını yapmış; konik kesitlerini kesiştirmek suretiyle, bu polinomların köklerini geometrik olarak bulmaya çalışmıştır. Örnek verecek olursak; x^3+ax^2+bx+c=0 polinomunun kökünü bulmak için x^2=2dy alarak 2dxy+2ady+bx+c=0 hiperbolünü elde eder. Bu hiperbol ile y = x^2/2d parabolünün kesişme noktaları baştaki polinomun köklerini verecektir. Bu çalışmada önemli iki nokta vardır: Birincisi, Ömer Hayyam’ın 3. dereceden bir polinomun birden fazla kökünün olabileceğini anlamış olması ve kökleri bulmak için de konik kesitlerini kullanmak gerektiğini görmüş olmasıdır. Ömer Hayyam astronom olarak gözlem ve ölçülere dayalı bir takvim reformu yaparak, yeni bir takvim(Celali takvimi) hazırlamıştır. Bu amaçla, bir güneş yılının uzunluğunu 365,24219858156 gün olarak hesaplamıştır. Şimdi bilinen bir yılın 365,242190 olduğu ve her 70-80 yılda bir virgülden sonraki 6. rakamın değiştiği şeklindedir ve hemen hemen Ömer Hayyam’ın bulduklarıyla aynı değerlerdedir.

Diğer bir matematikçimiz Şarafattin Al-Tusi’dir (1135 - 1230). Harazmi’nin izinden giden

Ş. Al- Tusi 3. dereceden denklemleri 25 sınıfa ayırarak, cebirsel yaklaşımla onların köklerini bulmaya çalışmıştır. Bugünkü bilgilerimizle, x^3-ax = b gibi bir denklemin belirli bir aralıkta çözümünün olabilmesi için b’nin x^3-ax’in maksimumu ve minimumu arasında olması gerektiğini o zamandan anlayan Ş. Al-Tusi, bu ifadenin maksimumunu ‘türev’inin sıfır olduğu yerde araması gerektiğini anlamıştır. Kimi yazarlara göre bu türevin keşfidir. Ne yazık ki o zaman bu keşfin değeri anlaşılmamış, türevin farkına varılmamıştır. Matematiğin en önemli keşiflerinden olan türev, 1636 da Fermat tarafından tekrar keşfedilecek ve bu analitik geometriyle beraber kalculusun doğumuna neden olacak, matematikte bir devrim yaratacaktır.

Ele alacağımız dördüncü matematikçi, büyük Tusi, Nasireddin al-Tusi’dir( 1201 - 1274).

O devir İslam dünyasının en büyük bilim adamlarından olan N. Al-Tusi, Tus ve Nişabur’da okumuş; mantık, ahlak, felsefe, astronomi ve matematik kitapları yazmıştır. Hayatının önemli bir kısmını Hasan el-Sabah’ın örgütünün merkezlerinden biri olan ve çok iyi bir kütüphanesi olduğu bilinen Alamud kalesinde araştırmalar yaparak geçirmiştir. Bu kale daha sonra Hülagü Han tarafından zaptedilmiş ve N. Al-Tusi onun müneccim başı olmuştur. 1262’den sonra Güney Azerbeycan’da Tebriz civarında Hülagü Han’ın emriyle kurulan bir rasathanede çalışmalarına devam etmiş ve bir ziç(Ziç-i İlhani) hazırlamıştır. Ziçler astronomik hesaplar için gereken sinüs cetvelleridir. N. Al-Tusi’nin astronomi ile ilgili çalışmaları, Batlamyus’tan Copernicus’a kadar yapılmış, astronomi alanındaki en önemli çalışmalar olduğu kabul edilir. Matematikle ilgili en önemli çalışmaları, düzlem ve küresel trigonometri ile ilgili çalışmalarıdır. Bu araştırmalardan sonra trigonometri, astronomi için bir araç olmaktan çıkıp matematiğin bir ana dalı olmuştur. Bunun dışında Yunanca’dan çevrilen çok sayıda matematik kitabına izah ve yorumlar yazmış, bir sayının n ninci kökünü bulmak için bir yöntem geliştirmiştir. Batılı bilim adamlarının çalışmalarından en fazla yararlandığı İslam dünyası bilim adamı Nasireddin Al-Tusi’dir.

Çalışmalarından bahsedeceğimiz bu dönemin son matematikçisi Cemşit Al-Kaşi’dir (1380 -1429). Kaşan(İran)’da doğmuştur. İran’da yetiştiği anlaşılan Al-Kaşi, 1420 den ölene kadar, Uluğ bey ve Kadızade ile Semerkant’ta Uluğ beyin medrese ve rasathanesinde çalışmıştır. Timurleng’in torunu olan Uluğ Bey (1393 - 1449) iyi bir matematikçi, bilim aşığı bir hükümdardı. O tarihlerde Uluğ Bey’in medresesinde 60 civarında zamanın en iyi bilim adamı ders vermekte ve araştırma yapmaktadır. Bu medrese pozitif bilimlerin okutulduğu ve bilimsel bir saygınlığı olan İslam ülkelerindeki son medresedir. Al-Kaşi Uluğ Bey’le beraber, N. Al-Tusi’nin ziçlerinden de faydalanarak Ziç-i Hakani olarak bilinen Uluğ Bey ziçlerini hazırlamıştır. Bu ziçte 1’den 90 dereceye kadar olan açıların, birer dakika arayla sinüsleri verilmiştir. Bu da 60*90 = 5400 giriş demektir. Her açının sinüsü virgülden sonra 8. haneye kadar bulunmuştur. Bu iş, bugünün olanaklarıyla bile kolayca yapılacak bir iş değildir. Ayrıca bu ziç güneş, ay ve gezegenlerin konumu ve hareketleri hakkında detaylı bilgi vermektedir. Al-Kaşi muhteşem bir hesap yeteneği olan bir matematikçidir. Yarıçapı 1 olan bir daireyi 3 * 2^28 = 805 milyon 306 bin 368 kenarlı bir poligonun içine oturtarak, pi sayısının virgülden sonraki 16 hanesini, on ve altmış tabanlı sayı sistemlerinde ayrı ayrı ve doğru olarak vermiştir. Bu rekor ancak 200 yıl sonra kırılabilecektir.

Al-Kaşi nin ölümünden sonra Uluğ Bey’e ziçlerinin tamamlanması ve gerekli izahların yazılmasında, Kaşi ve Kadızade’nin öğrencisi Ali Kuşçu yardım etmiştir. 1449’da Uluğ bey devlet işleriyle uğraşmayıp hayırsız bilimle uğraşıyor diye öz oğlu ve akrabaları tarafından öldürülmüştür. Böylelikle Uluğ Bey’in medrese ve rasathanesi çökmüştür. Bu İslam dünyasındaki son pozitif ilim merkezinin sönmesi anlamına gelmiştir. Bu son bahsi geçen şahıslar, İslam dünyasının matematikçi olarak diyebileceğimiz son bilim adamlarıdır.1450 den 1930 lara kadar, İslam dünyasında orijinal bir çalışma yaparak matematikçi olarak nitelendirebileceğimiz tek bir kişinin ismi dahi geçmemektedir.

Müslüman bilim adamlarının matematiğe katkılarının bir değerlendirmesi:

Müslüman bilim adamlarının matematiğe olan katkılarını, bu konuda çok çelişkili ifadelerin olması nedeniyle, değerlendirmek çok zordur. Bu katkılar kimi yazarlarca görmezden gelinmiş, kimi yazarlarca da göklere çıkartılmıştır. Müslümanların matematiğe hiçbir katkılarının olmadığını iddia edenler, Müslüman bilim adamlarının bütün yaptıklarının bir buzdolabı görevi görmek olduğunu savunmuşlardır. Onlara göre Yunanlılar pişirmiş, Müslümanlar ise Avrupalılar onu yiyecek düzeye gelene kadar saklamışlar, günü gelince de Avrupalılar çıkarıp yemişlerdir. Kimilerine göreyse, Müslümanların matematik ve astronomiye kapsamlı, özgün katkıları olmuştur. Bugün Batılı bilim adamlarının adını taşıyan birçok teorem veya sonuç daha önce Müslümanlar tarafından bulunmuştur. Görülen o ki; Müslümanlar sulayıp büyüttükleri ağaçların meyvelerini toplayamamışlar, bilime yaptıkları katkılar da yeterince araştırılıp değerlendirilememiştir( bu işi yapanların daha çok yine batılı bilim tarihçileri olduklarını unutmamak gerek). Prof. Dr. Ali Ülger’e(Koç üniversitesi matematik profesörü) göre Müslüman matematikçilerin küresel geometri, cebir, sayılar teorisi, trigonometri ve astronomiye özgün katkıları olmuştur ve bu katkılar hiçte küçümsenecek ölçüde değildir. Ayrıca, insanlığın ortak paydası olan bilimin önemli, eskiyle yeniyi bağlayan bir halkası İslam bilimidir. Bu halka olmadan bilimin bugünkü düzeye gelmesi herhalde mümkün olmayacaktı.

Avrupa’da Matematik: 1200-1500 arasında Avrupa’lıların bilimsel kaynakları Arapça eserlerdi. Uğraştıkları problemler, bu kitaplarda Müslüman matematikçilerin uğraştığı problemlerin aynılarıydı. Bunlar, bazı geometri problemleri, 3. dereceden polinomların köklerini bulma sorunu, sayılar teorisiyle ilgili problemlerdir. 1450’lerden sonra İstanbul’dan İtalya’ya giden kaynaklardan matematiğin Yunanca kaynaklarına inmeye başlayan Avrupalılar, Yunanca kaynaklardan çeviri yapmaya başlayacaklardır. Böylelikle 1600’lerden sonra Arapça kaynaklar büyük ölçüde terk edilecektir. Avrupa da matematikte özgün çalışmalar 1500’lerden sonra başlar. Şimdi biraz da bunlardan bahsetmemiz gerekmektedir:

Batıya bugün kullanılan Hind-Arap rakamları (1,2,3,4,5,6,7,8,9,0) 1200’lerin başında Fibonacci’nin(1175-1250) Araplardan öğrenerek yazdığı ‘Liber Abacci’ isimli kitabıyla girmiştir. Bu rakamlar Batıda, günlük hayatta 16. yy.a kadar yaygın olarak kullanılmamış, hatta kullanılmaları zaman zaman da yasaklanmıştır. Bu rakamların halk arasında yaygın olarak kullanılması Fransız İhtilalinden sonra olmuştur.

1500 - 1600 arası iki önemli çalışma yapılmıştır: Bunlardan birincisi, Tartaglia’nın (1499 -1557) bulduğu ama Cardano’nun (1501 - 1576) aşırarak yayımladığı 3. dereceden polinomların cebirsel olarak köklerinin bulunmasıdır. Kompleks sayılar 3. derece polinomların kökünü veren formülde ilk kez, o an anlaşılmamış olsa da, ortaya çıkmıştır. Daha sonra Bombeli (1526 – 1572) cebir kitabında bazı tip kompleks sayılara yer verecek, onlarla nasıl işlem yapılacağını anlatacaktır. 1500 - 1600 arası dönemde yapılan önemli ikinci çalışma ise F. De Vite’nin (1540 - 1603) cebir kitabıdır. İlk olarak bu kitapta cebir, sözel olmaktan çıkıp sembolleşmeye başlamıştır. Viete’nin bu kitabında sessiz harfler bilinen ifadeler, sesliler de bilinmeyenler olarak kullanılacaktır. R. Descartes ise günümüzde kullanılan şekliyle; sabitler için a,b gibi alfabenin ilk harflerini, bilinmeyenler için de x,y gibi alfabenin son harflerini ilk kullanan olacaktır.

1600-1700 arası matematikte üç önemli gelişme yaşanmıştır:

a) Türev bulunmuştur. P. Fermat ın (1601 -1665), bir eğrinin maksimum, minimum ve tanjantını bulmak için verdiği çabalar, Ş. Al-Tusi den 5 yy. sonra, onu da Ş. Al-Tusi gibi türevin keşfine götürmüştür. Yalnızca farklı olan, artık matematik dünyasının yavaş da olsa türevin değerini anlayacak kadar olgun olmasıdır.

b) Analitik geometri ve Kartezyen koordinat sistemi doğmuştur. R. Descartes’ın (1596 -1650) geometriyi cebirleştirme çabaları ve bir eğriyi sistematik olarak çizme isteği analitik geometrinin doğmasına ve bugün Descartes’e ithafen adlandırılan, ‘cartesien’ koordinat sisteminin ortaya çıkmasına yol açacaktır.

c) Bugün ‘Kalkülüsün Temel Teoremi’ denen, türev ile entegral arasında ilişki Newton(1643-1727) ve Leibniz(1646-1726) tarafından birbirinden bağımsız olarak bulunmuştur.

Böylece bu üç gelişmenin sonucu olarak ‘İntegral Calculus’ doğacaktır. Bu da o güne kadar diğer alanlarda kullanımı oldukça sınırlı kalmış olan matematiğin önünü açacak ve matematiği evrensel bir bilim konumuna yükseltecektir. Ayrıca kalkülüsle birlikte bilimsel anlamda fizik ve mühendislik de gelişecektir. Türev bulunmadan önce, diferansiyel denklem dolayısıyla bilimsel fizik yoktu. Bir diferansiyel denklem, fiziki bir olayın matematiksel ifadesidir. Bu çalışmalar yanı sıra astronomideki gelişmeler de matematiği yeni bir döneme taşıyacaktır.

4- Klasik Matematik Dönemi:

1700 -1900 arasını kapsayan ve matematiğin altın çağı olarak bilinen bu dönem, klasik matematik dönemidir. 18. yy.’da matematiğe en fazla katkı yapan bilim adamlarının başında Euler, Laplace, Lagrange ve D’Alembert’i sayabiliriz. Leonard Euler (1707 -1783) İsviçre Basel’de doğmuş, meslek hayatının tamamı Petesburg ve Berlin’de geçmiştir. Tarihin en üretken bilim adamıdır. Kalkülüsün ortaya koyduğu olanakları sayılar teorisinden diferansiyel denklemlere, diferansiyel denklemleri mühendislik problemlerine uygulayan Euler 30 bin sayfadan fazla bilimsel eser üretmiştir. Öldükten 50 yıl sonraya bile birikmiş makalelerinin yayını devam etmiştir. Euler’le matematik evrensel boyutlara ulaşmıştır. Bugün bile matematikçilerin yaptığı işlerin birçoğunun temel fikri ve başlangıcı Euler’in çalışmalarıdır. Euler’le Analiz yeni bir bilim dalı olarak temayüz etmiştir. Analizin büyükbabaları Eudoxus ve Arşimed ise babası da Euler’dir denebilir.

Laplace (1749- 1827) Fransa Normandiya’da dünyaya gelmiştir. Gök ve yer mekaniği hakkında yazdığı 11 ciltlik eseri, bütün zamanların mekanik hakkında yazılmış en kapsamlı eserlerinden biridir. ‘Theorie Analytique des Probabilites’ adlı kitabı, olasılık teorisinin ilk önemli eseridir. Joseph-Louis Lagrange (1736 -1813) İtalya Turin’de doğmuş, meslek hayatının çoğunu ise Berlin ve Paris’te geçirmiştir. İtalya’da doğmasına rağmen Fransız matematikçisi olarak bilinir. Lagrange cebirsel denklemlerin çözülebilirliğine; mekanik, diferansiyel denklemler ve varyasyon hesabına önemli katkılar yapmış; fikir ve yöntemleri bugün de kullanılan bir bilim adamıdır.

Jean Le Rond D’Alembert(1717-1783) Fransız bilim insanıdır. D’Alembert kısmi diferansiyel denklemleri ilk inceleyenlerden biridir. Kısmi diferansiyel denklemler ve akışkanlar mekaniği ile ilgili çalışmaları ve felsefe yazıları dışında; Diderot ile birlikte editörlüğünü yaptığı ünlü, 28 ciltlik ‘Encyclopedie’nın matematik maddelerinin hemen tümünü yazmıştır. ‘Encyclopedie’ Fransız aydınlanmasının temel eserlerinden biri olarak kabul edilir.

1700-1800 arası matematik çeşitli, kapsamlı ve fikir yönünden zengindir. En önemli zaafları; kesinlik(rigor) eksikliği, yapılan işlerin günümüze göre yarım yamalak, kusurlu ve eksik oluşudur. Matematiğin o zamanda erişmiş olduğu düzeyle başka türlü imkanı var mıdır, o da bilinmemektedir.

1800-1900 Arası: 19. yy. çok sayıda, matematiğe önemli katkısı olan bilim adamının yaşadığı bir yy.dır. Bunlardan her birini tek tek incelemek yerine bu yy.da matematik nereden nereye geldi, bunu incelemeye çalışalım:

1800’lerin başında matematik aslında bir kriz yaşamaktaydı. Bunun nedeni, Fermat’tan(1636) beri türev tanımında ve türevin işe karıştığı birçok alanda sonsuz küçük kavramının kullanılmasıydı ve bu da çoğu zaman tutarsızca yapılmaktaydı. Bu tarihlerde henüz limit kavramı yoktu ve türev limitten faydalanılarak değil, sonsuz küçükler kavramının kullanılmasıyla bulunuyordu. Bu tutarsızlık çok fazla eleştirilmiş ve özellikle de düşünür-din adamı G. Berkley’ nin (1685 -1753) matematikçilerin tutarsızlığını ortaya koyduğu 40 sayfa tutan eleştiri kitabı bilim dünyasında derin etki yaratmıştı. Birçok matematikçi bu yüzden o dönemde meslek değiştirmiş ve matematiğe karşı tavır almışlardır. 1800’lerin başında fonksiyon kavramı, son yüzyıldır kullanılmasına rağmen, doğru dürüst tanımlanmamıştı;

buyüzden fonksiyon kavramı matematikçiler tarafından aynı şekilde anlaşılmıyor ve kullanılmıyordu. Yine 1800’lerin başında süreklilik ve fonksiyon serilerinin yakınsaklığı doğru dürüst anlaşılmamıştı. Entegral kavramı türevin tersi olarak görülüyor, türevden bağımsız bir entegral ve entegrallenebilirlik kavramı yoktu.

1800’lerin başında bugün matematiğin en önemli teorilerinden biri olan, kompleks fonksiyonlar teorisi henüz yoktu. Geometride antik Yunan’dan kalan beş sorudan hiçbiri çözülememişti. İlk dört soru geometrik çizim yaparak 1) Bir açıyı üç eşit parçaya bölmek, 2) Alanı verilen bir dairenin alanına eşit olan bir kare çizmek, 3) Hacmi verilen bir küpün hacminin iki katına eşit bir küp çizmek, 4) Bir dairenin içine, p sayısı asal olmak kaydıyla, hangi p ler için düzgün p-gen’ler çizilebileceğini bulmak idi. 5. soru: Euclid geometrisinin beşinci postulatı olan ‘Bir doğruya onun dışından bir ve yalnız bir paralel çizilebilir.’ postulatının diğer dördünün sonucu olarak elde edilip edilemeyeceği idi. Dördüncü soru Gauss tarafından daha yeni çözülmüştü. Cebir tarafında ise, 5. dereceden polinomların köklerinin cebirsel(köklü) ifadelerle çözülüp çözülemeyeceği henüz bilinmiyordu. Cebir’in grup, halka, cisim, vektör uzayı gibi hiçbir yapısı henüz ortaya çıkmamıştı. Matris ve vektör kavramları henüz ortaya atılmamıştı. Cebir’in temel teoremi olarak bilinen D’Alembert-Gauss teoremi henüz ispatlanmamıştı( bu teoremde ‘Her polinomun en az bir kompleks kökü vardır.’ denmektedir). Matematiksel fiziğin ana teoremleri henüz yoktu. Diferansiyel geometri ve topoloji henüz doğmamıştı.

1800 lerin başında matematiğin durumu böyleydi. 1820’lerde A. Cauchy (1789 -1855) limit kavramını bugün kullandığımız şekliyle tanımladıktan sonra; türevi, sürekliliği ve sürekli fonksiyonlar için entegrali limit kavramıyla tanımlaması şuna yol açmıştır: Analiz sonsuz küçük kavramının yol açtığı krizden kurtulmuş, daha sağlam temeller üzerine oturtulmuştur.

Cauchy’nin çalışmaları ayrıca kompleks fonksiyonlar teorisinin doğmasına yol açmış ve bu teori Cauchy, B. Riemann (1820 -1866) ve K.Weierstrass (1815 -1884) gibi asrın büyük matematikçilerinin çalışmalarıyla matematiğin en temel olan teorilerinden biri haline dönüşmüştür.

G. Dirichlet (1805 -1859)’in bugün anladığımız şekliyle fonksiyon kavramını tanımlaması matematiği başka bir kargaşadan kurtarmıştır. Bu da daha sonra özellikle Fourier serileri hakkında tartışmaları sona erdirecek, bu serilerle ilgili çalışmaları tekrar başlatacaktır. Fourier serileri Analizin gelişmesinde en temel rolü olan ve bu sayede bir bakıma modern matematiğin doğuşuna sebep olan, gerek uygulamaları gerekse matematikteki merkezi konumundan dolayı matematiğin en önemli uğraş alanlarından biridir. Weierstrass ve öğrencilerinin çalışmaları sayesinde 1850’lerden sonra düzgün süreklilik, düzgün yakınsaklık gibi analizin vazgeçilmez kavramları ortaya çıkacak, fonksiyon serilerinin yakınsaklığı daha iyi anlaşılacaktır.

F. Gauss’ un (1777 -1855) ‘Cebirin Temel Teoremi’ veya ‘ D’Alembert Teoremi’ olarak bilinen teoremi ispatlaması bu asrın başka önemli bir olayıdır. Bu teorem bugün cisimler teorisinden spektral analize kadar birçok teorinin temelinde olan bir teoremdir. Bütün zamanların en derin, en büyük bilim adamlarından biri olarak kabul gören Gauss un sayılar teorisi, diferansiyel geometri, matematiksel fizik ve astronomiye katkıları 19. yy.ın en önemli çalışmaları arasındadır. Bu asrın ve bütün zamanların en önemli matematikçilerinden biri olan B. Riemann kısa yaşamında, daha sonra her biri büyük bir teori olacak bir düzine konuyu başlatmış ya da onlara derin katkılar yapmış, matematiğe kavramsal bir bakış ve yaklaşım getirmiştir. Bunlardan bir kaçı şunlardır: Riemann entegrali ve entegrallenebilirlik kavramı, Riemann yüzeyleri, Riemann geometrisi, diferansiyel geometri, sayılar teorisi (Riemann hipotezi), Cauchy-Riemann denklemleri, cebirsel geometri, matematiksel fizik ve daha sonraları topoloji olarak adlandırılacak analysus sitüs’tur.

Yine bu yy.da, yukarda bahsi geçen antik Yunan dan kalma beş sorunun beşi de çözülmüştür. 1. ve 3. soruların mümkün olmadığı Fransız matematikçi Wentzel tarafından 1837’de ispatlandı. 2. sorunun mümkün olmadığı, Lindemann’ın 1882 de pi sayısının tranzantal bir sayı olduğunun ispatından sonra anlaşıldı. 4. soru Gauss tarafından 1796 da p=17 için ve 1801 de diğer p ler için tam olarak çözüldü. Cevap şudur: p bir asal sayı olsun. Verilen bir dairenin içine bir düzgün p-gen in çizilebilmesi için gerek ve yeter koşul p’nin 2^n+1 ve n=2^k şeklinde olmasıdır( k=0 ise p=3; k=1 ise p=5; k=2 için p=17 dir). Bir dairenin içine düzgün bir beşgenin çizilebileceğini Euclid biliyordu, yedigen çizilemeyeceğini Arşimed biliyordu. Arşimed’den sonraki 2000 yıl içinde bu soruda hiçbir ilerleme sağlanamamıştı. Bunun için Gauss’un dehası gerekiyordu.

Euclid’in 5. postulatına gelince; bu sorunun çözümü için bilim insanlarının ‘mantıki tutarlılık’ ve ‘fiziki olurluğun’ aynı şey olmadığını anlamaları gerekiyordu. 5. postulatın yerine onun zıtları olan postulatlar koyarak, Euclid geometrisi kadar tutarlı iki yeni geometri daha oluşturulabileceği Lobachevsk i (1792 -1856), Bolyai (1802 -1860) ve Riemann tarafından gösterilmiştir. Cebir cephesine gelince, genç yaşta bu dünyadan ayrılan iki matematikçi,

H.Abel (1802 -1829) ve E. Galois (1811 -1832)’nin 5. dereceden polinomların cebirsel yöntemlerle köklerinin bulunup bulunamayacağı konusundaki çalışmaları sonucu grup teorisi doğdu. Kummer (1810 -1893) ve öğrencilerinin Fermat’ın ünü büyük teoremini ispatlamak için verdikleri uğraş sonucu halka teorisi ve idealler teorisi doğdu. R. Dedekind (1831 -1916)’in gerçel sayıların soyut bir tanımını vermek için yaptığı çalışmalar sonucunda cisim teorisi doğdu. Cayley ve Sylvester’in çok sayıda doğrusal denklemi tek bir denklem olarak göstermek ve çözmek için yaptıkları çalışmalar sonucu matris cebiri doğdu. Son olarak Grassman’ın üç boyuttan çok boyuta geçme çabaları sonucunda vektör uzayları doğdu. Bu kavramlar matematiğe yapısal yaklaşımı ve bakış açısını getirecektir.

Bu dönemi, 1700-1900 arasını, matematikte büyük ilerlemelerin olduğu, çok sayıda yeni teorinin gün yüzüne çıktığı, yapısal değişikliklerin olduğu, ispatlarda kesinliğin ön plana çıktığı, kavramsal bakış açısının hesabi yaklaşımın önüne geçtiği bir dönem, yani matematiğin altın çağı olarak özetleyebiliriz. Ancak matematiğin altın çağı en sonunda bir krizle kapanmaktan kendini alıkoyamadı. Bu kriz yeni bir dönemin doğum sancılarından başka bir şey değildi.

5- Modern Matematik Dönemi:

Kümeler teorisinin ve modern matematiğin babası Georg Cantor (1845 -1918)’dur.

Cantor Berlin üniversitesinde sayılar teorisi üzerine olan tezini bitirdikten sonra meslek hayatının sonuna kadar çalışacağı Halle üniversitesinde çalışmaya başlar. Bu yıllarda Halle üniversitesi hocalarından E. Heine’nin Cantor’a sorduğu bir soru Cantor’un yaşamını ve daha fazlası matematiğin seyrini değiştirecekti. Bu problem şuydu: Bir periyodluk bir aralıkta, toplamı sıfır olan bir trigonometrik serinin katsayılarının hepsi sıfır mıdır?

Cantor bu soruyla uğraşırken, gerçel sayıların o ana kadar fark edilmeyen bir özelliğinin farkına varır. Bu da rasyonel sayılarla irrasyonel sayıların aynı çoklukta olmadığıdır. Başka bir deyişle, rasyonel sayılar kümesiyle irrasyonel sayıların kümesi arasında, her iki kümenin de sonsuz olmasına rağmen, bire-bir dönüşüm yoktur. O halde bu iki kümenin sonsuzlukları aynı değildir. Böylece, küme kavramı ve kümelerin içerdikleri eleman çokluğu açısından sınıflandırılması sorunu ortaya çıktı. Bu son kavram ‘sonsuz’un tek değil, çok olduğunu söylemektedir. Bu da tabii çok tepki toplayacaktır.

Tarih boyunca, Elea’lı Zeno dan başlayarak günümüze kadar, ‘sonsuz’ insanları rahatsız etmiştir. Aristo’dan Cantor’a kadar geçen zaman diliminde ‘sonsuz’ anlayışı, temelde

Aristo’nun görüşü olan, şu anlayıştır: Sonsuz ufuk çizgisi gibi, var olmayan ama konuşma kolaylığı sağladığı için kullandığımız bir kavramdır. Bu kavramı ‘sınırsızlık’ kavramı yerine de kullanırız: Bir şey çoğalarak ya da büyüyerek önceden belirleyeceğimiz bir çokluğun ya da büyüklüğün ötesine geçme potansiyeline sahipse, o şeye ‘sonsuza gidiyor’ deriz. Başka bir deyimle, Aristo’nun sonsuz anlayışı ‘potansiyel sonsuz’ anlayışıdır.

Cantor’a göreyse; ‘sonsuz’ tek başına anlamlı değildir. Anlamlı olan ‘sonsuz küme’ kavramıdır. Sonsuz kümeler ise var olan nesnelerdir. Burada ‘sonsuz küme’ deyimi, ‘büyükanne’ kelimesi gibi, bölünmez bir terim olarak anlaşılmalıdır. Buradan Cantor un sonsuz anlayışının ‘actual sonsuz’ anlayışı olduğu ortaya çıkar. O halde yapılması gereken önce kümeleri sonlu-sonsuz diye ayırmak sonra da sonsuz kümeleri kendi aralarında, sonsuzluklarına göre çeşitli sınıflara ayırmaktır. Böylelikle ortaya sayısız ‘sonsuz küme’ sınıfları çıkacak, bu da çok çeşitli ‘sonsuz’luğun olduğu anlamına gelecektir.

Cantor’un bu sonsuz anlayışı, Kronecker ve Poincaré gibi birçok ünlü matematikçi tarafından tepki ile karşılandı. Bunun sonucu olarak ta matematikçiler kendi aralarında da ‘sonsuz’u Cantor gibi veya Aristo gibi anlayanlar olarak ikiye ayrıldılar. Küme kavramının aksiyomatik olarak tanımlanmadan Cantor’un yaptığı üzere sözlük anlamında kullanılması kümeler teorisini de çıkmaza soktu. ‘ Bütün kümelerin kümesi bir küme midir?’ gibi yeni paradokslar ortaya çıktı. Bu da matematikçileri kümeler teorisinden vazgeçilip vazgeçilmemesi konusunda tekrar ikiye böldü.

Üçüncü bir sorun daha vardı: Bu da ‘bir matematiksel ispatın ne olduğu, geçerliliği, meşruluğu’ sorunuydu. Matematikte deney ya da gözlem olmadığından, tartışma konusu teorem veya ispat hakkında son sözü deneye ya da gözleme bırakma şansı yoktur. Bu aslında ‘gerçek, hakikat, doğru nedir?’ gibi felsefi ve hatta metafiziksel bir sorundur. Bir matematikçi ‘öyle bir x vardır ki….’ dediğinde, var olduğunu iddia ettiği şeyi somut olarak ortaya koymalı mıdır, asgariyette nasıl inşa edilebileceğini göstermek zorunda mıdır yoksa bir din adamının dini ilkelere dayanarak şeytanın varlığını ispatladığı gibi, bir matematikçinin de, aradığı şeyin nasıl elde edileceğini göstermeden, o şeyin var olduğunu bir takım ilkelere dayanarak ispatlaması yeterli midir?

Bu saydığımız üç sorunla ilgili farklı görüş ve anlayışlar matematikçileri derin tartışmalara, çeşitli ekollere bölünmeye (sezgiciler, mantıkçılar, formalistler gibi) ve sonuçta da yüz yıl sonra da olsa , tekrar matematiği derin bir krize doğru itti. Bu ‘Matematiğin Temelleri Krizi’dir. Matematiğin, artık eskiden olduğu gibi, kendi gelenek ve göreneklerine göre yapılamayacağını anlayanlar, bu krizden kurtulmak için matematiğin bir ‘anayasal’ temele oturtulması gerektiğini gördüler. Küme kavramını aksiyomatik olarak tanımlayıp, matematiği aksiyomatik kümeler temeli üzerine inşa etmeye çabaladılar. Böylelikle gerektiğinde kümeler teorisinin aksiyomlarına ‘seçim aksiyomu’ gibi aksiyomlar da ilave edilecek ve böylece günümüzün modern matematiği yavaş yavaş oluşmaya başlayacaktır. Modern matematik, klasik matematiğin anayasal bir temele oturtulmuş şeklidir diyebiliriz. Artık bu yeni anayasal çerçevede, neyin meşru neyin meşru olmadığı sağlıklı bir şekilde tartışılabilecektir.

Bundan sonra çalışmalar; matematiğin aritmetik, geometri v.b. çeşitli dallarını aksiyomatik temellere oturtma çabaları yönüne kaydı. D. Hilbert’ in (1862 -1943) rüyası; matematiğin bütününü veya hiç olmazsa aritmetik, geometri gibi ana dallarını ideal aksiyomatik bir temele oturtmaktı. Böylelikle o dalın her önermesi o dala özgü aksiyomlardan hareketle, olumlu ya da olumsuz yönde karara bağlanabilecekti. Fakat Kurt Gödel’ in ( 1906 -1978 ) eksiklik teoremi bu rüyanın gerçekleşmesine engel oldu. Bu açıdan ‘Goedel’s Incompleteness Theorem-kararsızlık teoremi demek belki daha doğru-‘ derinlik ve önem açısından değerlendirildiğinde A. Einstein’ın görecelik kuramı ve Heisenberg’in belirsizlik ilkeleriyle aynı düzeydedir ve 20 yy. matematiğinin en önemli teoremi olarak kabul edilir.

Bu kadar önemli bir teoremi anlaşılır, somut bir örnekle açıklamaya çalışalım: Matematiğin tamamını bütün dünya ülkeleri, aritmetik gibi bir ana dalını da Türkiye gibi bir ülke olarak düşünelim. Gayemiz Türkiye’ye bir anayasa yapmak olsun. Bu anayasanın şu dört temel ilkeye uygun olmasını beklemekteyiz:

Tutarlılık İlkesi: Anayasanın bir maddesi geri kalan maddelerle çelişmemelidir.

Bağımsızlık İlkesi: Anayasanın her maddesi geri kalan maddelerden bağımsız olmalı, onların sonucu olarak elde edilememelidir.

Tamlık İlkesi: Meclisten geçen her yasa anayasanın hükmüne girecek kadar kapsamlı ve tam olmalıdır. Dolayısıyla Anayasa mahkemesi kendisine getirilen herhangi bir yasa hakkında ‘görevsizlik’ kararı verememelidir.

Anlaşılabilirlik İlkesi: Şüphesiz meclisin çıkaracağı yasa sayısında bir sınırlama olamaz; bu halde meclis her türlü öneriyi-önermeyi yasa olarak çıkartabilir. Dolayısıyla tamlık ve bağımsızlık ilkelerine uyması gereken anayasada sonsuz sayıda madde de olabilir. Madde sayısı sonlu da olsa sonsuz da olsa; hangi maddenin anayasaya dahil olduğunu hangisinin anayasanın haricinde olduğunu anlayabilmemiz gerekir. Yoksa anayasa işlevsiz olur. Yani anayasa çok fazla karmaşık olmamalı, hangi maddenin anayasaya dahil hangisinin hariç olduğunu sonlu zaman içinde ve gerekirse bilgisayar da kullanarak anlayabilmemiz gerekir.

Bu ilkeler biz faniler için makul olarak hatta her anayasanın sağlaması gereken ilkeler olarak görülebilir. Ama Gödel bizim gibi düşünmüyor. Gödel’e göre bu ilkeleri sağlayan bir anayasa yapmak mümkün değildir. Yapacağımız anayasalar B) ve C) ilkelerini sağlasalar bile ya tutarsız olacaklar ya da tam olmayacaklardır. Yani, A), B) ve D) ilkelerine uyan hangi anayasayı kabul edersek edelim; meclise öyle bir yasa önerisi verebilirim ki, bu öneri yasalaştığı ve muhalefette onu anayasa mahkemesine götürdüğünde, anayasa mahkemesi bu yasanın anayasaya uygun olduğunu da söyleyemez, uygun olmadığını da söyleyemez. Bu da yaptığımız anayasanın tam olmadığı anlamına gelir. Tabii ki, burada anayasa mahkemesinin ülke çıkarı veya daha başka siyasi mülahazaları dikkate almadan, önüne konan yasa maddesini salt mantık açısından değerlendirdiğini kabul etmekteyiz.Matematiksel olarak; Gödel’in teoremi, matematiğin aritmetik gibi bir ana dalını nasıl ve herhangi bir aksiyom sistemi üzerine oturtursak oturtalım, aksiyom sistemimizin tutarlı, bağımsız ve anlaşılabilir olması koşuluyla tamlık ilkesini sağlayacak şekilde, o bölümü aksiyomatikleştirmemiz mümkün değildir, demektedir. Başka bir deyişle; aksiyomlarımızın dışına çıkmadan aksiyomlarımız tutarlıysalar, doğruluğunu da yanlışlığını da ispatlanamayacak bir önerme üretmek her zaman mümkündür.

Buradaki temel sorun; ‘doğru’ ile ‘ispatlanabilir’ kavramlarının eşdeğer kavramlar olmamasıdır. Klasik mantığın temel ilkelerinden birisi şöyle demektedir: Bir önerme ya doğrudur ya da yanlıştır. Aynı zamanda doğru ve yanlış veya başka bir seçenek yoktur. Aynı ilke ‘ispatlanabilirlik’ için geçerli değildir. Gödel’den önce; verilen her önermenin, bugün beceremezsek bile, önünde sonunda doğruluğunun ya da yanlışlığının ispatlanacağı yönünde matematikte derin bir inanç vardı. Gödel’in teoremi bu inancı yıktı.

Gödel in eksiklik(kararsızlık) teoremi diğer bilim adamlarınca değişik şekillerde yorumlandı. Matematiğin sınırları aşıldı, felsefeye kadar dayanan tartışmalar yapıldı, yapılıyor. Ancak Gödel’in teoreminin matematiğin her şeyi anlamamıza olanak vermediğini, dolayısıyla her gerçeği kavrayamayacağımızı ya da mantık yoluyla mutlak hakikate ulaşamayacağımızı gösterdiği sanırım tartışılmazdır.

20. yy.da da çok sayıda yeni teoriler ortaya çıktı: Metrik uzaylar(1902), topolojikuzaylar(1914), fonksiyonel analiz(1924), Banach cebirleri(1940), distribüsyon teorisi(1950), operatörler teorisi(1930), felaket(catastrophe) teorisi(1950).

20 yy. matematiğinin temel unsurları şunlardır:

Hiçbir zaman olmadığı kadar soyuttur,

Kavramsal ve yapısaldır,

Matematikçi sayısı ve üretim sayısı hiçbir asırda olmadığı kadar fazladır,

Kullanılan dilin konuya özel oluşu, üretimin çokluğu ve çeşitliliği; matematiğin bütünü hakkında tam bilgi sahibi olmayı imkansız kılmaktadır.

Sonsöz:

Başlarken ifade ettiğimiz şekilde bugünkü matematik hakkında bilgimiz, körün dokunduğu fil hakkındaki bilgisinden daha fazla değildir. Ama yine de hayatta başarılı olmak için, iyi bir meslek sahibi olmak için, doğru düşünmeyi öğrenmek için, estetik yaklaşımız için veya hiçbir şey için, sadece merak ettiğimiz için, sıkıntılarımıza ilaç olacağı için matematik öğrenmek, bilmek gerekir. Size tavsiyemiz derslerinize iyi çalışmanız, derslerinizi iyi dinlemeniz ve tabii ki sınavlarda soruların hepsini doğru cevaplamanızdır

Hepinize başarı, mutluluk, esenlik, sağlık dolu bir yaşam dilerim.