Matematik eğlencelidir

 

Evet, matematik çok eğlencelidir, eğlenmesini bilene. Aşağıda bazı matematiksel güzellikler bulacaksınız.

Önce bazı tanımlar ve bilgiler

 

Bazı sayısal anekdotlar

    5 adet 2 kullanarak 0-9 arası sayıları elde etmek:

2 + 2 - 2 - 2/2 = 1
2 + 2 + 2 - 2 - 2 = 2
2 + 2 - 2 + 2/2 = 3
2 . 2 . 2 - 2 - 2 = 4
2 + 2 + 2 - 2/2 = 5
2 + 2 + 2 + 2 - 2 = 6
22/2 - 2 - 2 = 7
2 . 2 . 2 + 2 - 2 =8
2 . 2 . 2 + 2/2 = 9
2 - 2/2 - 2/2 = 0

 

 

 Şimdi de şuna bakın:

1 . 1 = 1
11 . 11 = 121
111 . 111 = 12321
1111 . 1111 = 1234321
11111 . 11111 = 123454321
111111 . 111111 = 12345654321
1111111 . 1111111 = 1234567654321
11111111 . 11111111 = 123456787654321
111111111 . 111111111 = 12345678987654321

 

 

153'ün hikayesi nedir?

Bu sayı rakamlarının küplerinin toplamına eşittir.

15^3 = 1^3 + 5^3 + 3^3

Aynı özelliğe sahip diğer sayılar şunlar:

370 = 3^3 + 7^3 + 0^3
371 = 3^3 + 7^3 + 1^3
407 = 4^3 + 0^3 + 7^3

 

1634'ün hikayesi nedir?

Bu sayı rakamlarının 4. kuvvetlerinin toplamına eşittir.

1634 = 1^4 + 6^4 + 3^4 + 4^4

Aynı özelliğe sahip diğer sayılar şunlar:

8208 = 8^4 + 2^4 + 0^4 + 8^4
9474 = 9^4 + 4^4 + 7^4 + 4^4

4150 ve 4151'in de benzer hikayesi var:

4150 = 4^5 + 1^5 + 5^5 + 0^5
4151 = 4^5 + 1^5 + 5^5 + 1^5

 

        2025, 3025 ve 9801 sayılarının başları kel mi? Bu sayıları iki kısma ayırdıktan sonra bu kısımları toplayarak karelerini alırsak aynı sayıları buluruz:

20 + 25 = 45

45^2 = 2025

30 + 25 = 55

55^2 = 3025

98 + 01 = 99

99^2 = 9801

§        Doğal sayılarda a2 + b2 = c2 + d2 eşitliğine bir örnek:
102 + 52 = 112 + 22
Başka var mı?
§        Hangi sayının rakamları kendi kuvvetlerine gönderilip toplanırsa ilk sayıyı verir?
0 ve 1 dışında böyle iki sayı var: 3435 ve 438,579,088 sayıları.
3435 = 33 + 44 + 33 + 55
438,579,088 = 44 + 33 + 88 + 55 + 77 + 99 + 00 + 88 + 88
438,579,088'den daha büyük başka bir sayının böyle bir özelliğe sahip olamayacağını kanıtlayabilir misiniz?
§        4 de güzel bir sayıdır:
4 = 2 + 2 = 2 . 2 = 22
§        0 ve 2 den başka çarpımları toplamlarına eşit tamsayılar yok. Tamsayı şartı kaldırılırsa, böyle sayıları veren bir kural bulunabilir mi?

Evet.

n ve

sayılarının toplam ve çarpımları aynıdır.

 

Örneğin, n = 5 ise

olur.

 

 

§        Üç sayıyla böyle bir işlem yapılabilir mi? Evet.

1 + 2 + 3 = 1 . 2 . 3 = 6

Peki, herhangi üç sayının aynı özelliği taşıması için bir kural bulunabilir mi?

 

§        8 adet 8 kullanarak 1000 elde edebilir misiniz?

888 + 88 + 8 + 8 + 8 = 1000

§        8 ile ilgili daha ne var?

88 = 9 . 9 + 7 888 = 98 . 9 + 6
8888 = 987 . 9 + 5
88888 = 9876 . 9 + 4
888888 = 98765 . 9 + 3
8888888 = 987654 . 9 + 2
88888888 = 9876543 . 9 + 1

 

Bitmedi:

12345679 . 8 = 98765432

 

     Şimdi bir oyun oynayalım:

1.     Bir sayı yazın.
2.     Bu sayıyı tersinden yazın.
3.     Küçüğü büyükten çıkarın.
4.     Farkın rakamlarını toplayın.
5.     Bu toplamın basamak sayısı 1 den fazlaysa, rakamları bir daha toplayın.
6.     Böyle devam ederseniz daima 9 bulursunuz.

Uygulama:
7.     2578
8.     8752
9.     8752 - 2578 = 6174
10. 6 + 1 + 7 + 4 = 18
11. 1 + 8 = 9

§        8 dışında 1-9 rakamlarını sırayla yazarak 9'un katlarıyla çarpmayı denediniz mi?

12345679 . 9 = 111111111
12345679 . 18 = 222222222
12345679 . 27 = 333333333
12345679 . 36 = 444444444
12345679 . 45 = 555555555
12345679 . 54 = 666666666
12345679 . 63 = 777777777
12345679 . 72 = 888888888
12345679 . 81 = 999999999

§        Tek sayıların toplamlarının neyi verdiğini hiç düşündünüz mü?

1 = 1 = 12
1 + 3 = 4 = 22
1 + 3 + 5 = 9 = 32
1 + 3 + 5 + 7 = 16 = 42
1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 = 52
1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 = 36 = 62
...

 

§        Peki ya sayıların küplerinin toplamlarının?

13 = 1 = 12
13 + 23 = 9 = 32 = (1 + 2)2
13 + 23 + 33 = 36 = 62 = (1 + 2 + 3)2
13 + 23 + 33 + 43 = 100 = 102 = (1 + 2 + 3 + 4)2
...

§        142857 apayrı bir güzelliktir. Buna dairesel sayı diyelim. Bir daire çevresine bu sayının rakamlarını yazar ve sayıyı 1-6 arası herhangi bir sayıyla çarparsanız daire çevresinde bir rakamdan başlayarak aynı sırayla başka bir sayı elde edersiniz.

142857 . 1 = 142857
142857 . 2 = 285714
142857 . 3 = 428571
142857 . 4 = 571428
142857 . 5 = 714285
142857 . 6 = 857142
7'yle çarpın. Sürpriz!
142857 . 7 = 999999

Burada bittiğini sanıyorsanız, bir de 7'den büyük sayılarla çarpmayı deneyin:

142857 . 8 = 1142856

Eee? Ne var1142856'da? Dikkatle bakın. Bu sayıda ilk sayının 7'si yok ama 7'nin bulunması gereken yerde 6, başta da 1 var. Yani, 6+1=7. Gerisi yine ilk sayıdaki sırasıyla aynı rakamlar. Çarpmaya devam ederseniz, ilk sayının diğer rakamlarının da değişik biçimlerde iki parçaya ayrıldığını göreceksiniz.

142857 . 9 = 1285713
142857 . 10 = 1428570
142857 . 11 = 1571427
142857 . 12 = 1714284
...

Bir güzelliği daha var:

142857 . 142857 = 1428572= 20408122449

Bu sayıyı 20408 ve 122449 olmak üzere iki kısma ayırıp bunları toplarsak,

20408 + 122449 = 142857

Bu güzel sayı nereden geliyor dersiniz?

1/7 = 0.142857142857142857...

 

 

        Başka dairesel sayı var mı? Evet, işte:

526315789473684210

Bu sayıyı 1-200 arasındaki hangi sayıyla çarparsanız çarpın, rakamlarının sırası aynı kalacak şekilde bu sayının başka bir dizilişini bulursunuz.

        Hiç aklınıza gelir miydi?

12345679 . 999999999 = 12345678987654321 = 1111111112

 

        Su çarpma işleminde ilginç bir şey var mı?

138 . 42 = 5796

9 rakamın hepsi kullanılmış ve hepsi de farklı. Bunun gibi 9 çarpım daha yazılabilir:

12 . 483 = 5796
18 . 297 = 5346
39 . 186 = 7254
48 . 159 = 7632
27 . 198 = 5346
28 . 157 = 4396
4 . 1738 = 6952
4 . 1963 = 7852

        Şu çarpma işleminin bir özelliği var mı?

8712 = 4 . 2178

Evet! Bu işlem "hangi sayı 4 ile çarpıldığında, aynı sayıyı tersten verir?" sorusunun cevabıdır.

 

        0 hariç 1 den 9'a kadar bütün rakamları sırayla yazın (123456789). Uygun yerlere "+" veya "-" işaretleri koyarak 100 elde edin.

Bir cevap şöyle:
12 + 3 - 4 + 5 + 67 + 8 + 9 = 100

Başka bir cevap daha var:
123 + 4 - 5 + 67 - 89 = 100

 

Acaba başka var mı? Biraz düşünün bakalım.

"/" işaretine de izin verilir ve rakamları sırayla yazma şartı kaldırılırsa, şöyle bir çözüm bulunabilir:

Ya da,

Başka bulabilir misiniz?

        Belki de bu kadar müsrif olmamak gerek. İnsan 9 rakamla neler yapmaz ki!

        Öyle bir sayı yazalım ki, bu sayının soldan ilk rakamı sayıdaki sıfırların sayısını, 2. rakamı sayıdaki 1'lerin sayısını, 3. rakamı sayıdaki 2'lerin sayısını ... versin.

n sayımızın basamak sayısını göstersin.

n = 1: yazılamaz (kanıt)
n = 2: yazılamaz (kanıt)
n = 3: yazılamaz (kanıt)
n = 4: 1210, 2020
n = 5: 21200
n = 6: yazılamaz (kanıt)
n = 7: 3211000
n = 8: 42101000
n = 9: 521001000
n = 10: 6210001000
n > 10: (n-4), 2, 1, (n-7) adet 0, 1, 0, 0, 0